A. Chagrov, M. Zakharyashchev; 1992; "Modal Companions of Intermediate Propositional Logics"
Memo
定理番号などが振ってないのでSectionごとに散文的にメモしていくことにする．
Notation
強度と訳すのも変なのでいい言葉が思いついたら変える．
例
$ \vdash_\mathsf{iPL} A \iff \vdash_\mathsf{S4} T(A)
これについて，$ \sf S4の拡張でも$ \iffが成り立つことがわかっている．
$ \vdash_\mathsf{iPL} A \iff \vdash_\mathsf{S4Grz} T(A)
明らかに，証明能力の強さから言えば$ \sf S4 \sube S4Grzである．
疑問
直観主義命題論理$ \sf iPL，様相論理S4$ \sf S4の拡張について，証明能力の強さで完備束$ \mathcal{L}\mathsf{iPL},\mathcal{L}\mathsf{S4}とする． $ \mathcal{L}\mathsf{iPL}の最小元は$ \sf iPLで最大元は$ \sf cPLである．中間には$ \sf wemPL, GDなどがある．
$ \mathcal{L}\mathsf{S4}の最小元は$ \sf S4で最大限は$ \sf S4Grz?．中間には$ \sf S4.2などがある．
いくつかの写像を定める．
$ \tau, \sigma \colon \mathcal{L}\mathsf{iPL} \to \mathcal{L}\mathsf{S4} とする．
$ \tauは束のunionを保存する写像とする．
$ \sigmaはalgebric termsの中に定義される．（Sect 3.3参照）SnO2WMaN.icon？
$ \rho \colon \mathcal{L}\mathsf{S4} \to \mathcal{L}\mathsf{iPL}
$ \rho \mathsf{M\Lambda} := \{ A \mid \vdash_\mathsf{M\Lambda} T(A) \}と定める．
すると逆写像$ \rho^{-1}について次のことがわかっている．
$ \rho^{-1}\mathsf{P\Lambda} = \{ \mathsf{M\Lambda} \mid \tau\mathsf{P\Lambda} \sube \mathsf{M\Lambda} \sube \sigma\mathsf{P\Lambda} \} = \lbrack \tau\mathsf{P\Lambda}, \sigma\mathsf{P\Lambda} \rbrack
$ \lbrack \tau\mathsf{P\Lambda}, \sigma\mathsf{P\Lambda} \rbrackは無限個の要素を持つ．
更に次のこともわかっている．
$ \sigma \mathsf{P\Lambda} = \tau \mathsf{P\Lambda} \oplus \mathrm{Grz} = \tau \mathsf{P\Lambda} \oplus \mathsf{S4Grz}
ref
図にするとこう
https://gyazo.com/0d33eca5080fbd7632e6647870c971b5
Memo
リンクが切れている．